7 bài toán thiên niên kỷ (Millennium Problems)

[hanhtinhxanh_ngoisao_odon]

7 bài toán của thiên niên kỷ



Posted by VnMaTh.CoM
on 19:44
in

Lịch sử Toán học,
Nhà Toán học

|


1 nhận xét





Trên
TG vẫn còn tồn tại vô số những bí ẩn mà với vốn kiến thức hữu hạn hiện
nay, con người vẫn chưa tìm ra câu trả lời. Ví dụ thật sự có sự sống
ngoài trái đất hay không, ma quỉ là sản phẩm của trí tưởng tượng hay có
thật, khi chết đi chúng ta có được sống ở nơi gọi là "kiếp sau" hay
không... ? Toán học, một trong những môn học góp phần tạo nên nền tảng
của khoa học hiện đại ngày nay cũng còn tồn tại những vấn đề cực kì gai
góc, điển hình nhất là 7 bài toán thiên niên kỉ, mà thế giới đã treo
phần thưởng 1 triệu $ cho bất cứ ai có thể giải quyết một trong số 7 bài
toán đó.

Giả thuyết Poincaré
Lấy
một quả bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó một đường cong khép
kín không có điểm cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn
sẽ nhận được hai mảnh bóng vỡ. Làm lại như vậy với một cái phao (hay một
vật hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ mà chỉ được có
một.

Trong hình học topo, người ta gọi quả bóng đối lập với cái
phao, là một bề mặt liên thông đơn giản. Một điều rất dễ chứng minh là
trong không gian 3 chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và
không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu.

Vào năm 1904,
nhà toán học Pháp Henri Poincaré đặt ra câu hỏi: Liệu tính chất này của
các vật hình cầu có còn đúng trong không gian bốn chiều. Điều kỳ lạ là
các nhà hình học topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong những
không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính
chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều.

Henri Poincare (1854-1912), nhà vật lý học và toán học người Pháp,
một trong những nhà toán học lớn nhất thế kỷ 19.
Giả thuyết Poincaré do ông đưa ra năm 1904
là một trong những thách thức lớn nhất của toán học thế kỷ 20
Vấn đề P khác NP (P # NP)
Với
quyển từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra nghĩa của từ "thằn lắn" dễ
hơn, hay tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có
vảy ánh kim, thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu như chắc chắn là
tra nghĩa thì dễ hơn tìm từ.

Những các nhà toán học lại không
chắc chắn như thế. Nhà toán học Canada Stephen Cook là người đầu tiên,
vào năm 1971, đặt ra câu hỏi này một cách “toán học”. Sử dụng ngôn ngữ
lôgic của tin học, ông đã định nghĩa một cách chính xác tập hợp những
vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập
hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP). Liệu hai
tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà lôgic học khẳng định P # NP.
Như mọi người, họ tin rằng có những vấn đề rất khó tìm ra lời giải,
nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Nó giống như việc tìm ra số chia của
13717421 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra rằng 3607 x 3808 =
13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó
giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy nhiên, cũng lại
chưa có ai chứng minh được điều đó.

"Nếu P=NP, mọi giả thuyết của
chúng ta đến nay là sai" – Stephen Cook báo trước. "Một mặt, điều này
sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng trong công nghiệp;
nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài
chính thực hiện qua Internet". Mọi ngân hàng đều hoảng sợ trước vấn đề
lôgic nhỏ bé và cơ bản này!


N = NP ?
Alan Turing (1912-1954), nhà toán học người Anh

Các phương trình của Yang-Mills
Các
nhà toán học thường chậm chân hơn các nhà vật lý. Nếu như từ lâu, các
nhà vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills trong các máy gia
tốc hạt trên toàn thế giới, thì các ông bạn toán học của họ vẫn không
thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này.

Được
xác lập vào những năm 50 bởi các nhà vật lý Mỹ Chen Nin Yang và Robert
Mills, các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật
lý về hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi. Nó cũng cho thấy
sự thống nhất của hình học với phần trung tâm của thế giới lượng tử, gồm
tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ. Nhưng hiện nay, mới chỉ
có các nhà vật lý sử dụng chúng…

Giả thuyết Hodge
Euclide
(Ơ-clíc) sẽ cảm thấy rất khó khăn để hiểu được hình học hiện đại. Trong
thế kỷ 20, các đường thẳng và đường tròn đã bị thay thế bởi các khái
niệm đại số, khái quát và hiệu quả hơn. Khoa học của các hình khối và
không gian đang dần dần đi tới hình học của "tính đồng đẳng". Chúng ta
đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể
toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản
chất hình học dần dần biến mất trong toán học. Vào năm 1950, nhà toán
học người Anh William Hodge cho rằng trong một số dạng không gian, các
thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng…

William Hodge (1903-1975), nhà toán học người Anh

Giả thuyết Riemann
2,
3, 5, 7, …, 1999, …, những số nguyên tố, tức những số chỉ có thể chia
hết cho 1 và chính nó, giữ vai trò trung tâm trong số học. Dù sự phân
chia các số này dường như không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết
chặt chẽ với một hàm số do thiên tài Thụy Sĩ Leonard Euler đưa ra vào
thế kỷ 18. Đến năm 1850, Bernard Riemann đưa ra ý tưởng các giá trị
không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự. Giả thuyết trên
đã được rất nhiều nhà toán học lao vào giải quyết từ 150 năm nay. Họ đã
kiểm tra tính đúng đắn của nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiên,
nhưng vẫn không sao chứng minh được. "Đối với nhiều nhà toán học, đây là
vấn đề quan trọng nhất của toán học cơ bản" – Enrico Bombieri, giáo sư
trường Đại học Princeton cho biết.

Bernhard Riemann (1826-1866) nhà toán học Đức.
Giả thuyết Riemann do ông đưa ra năm 1850 là một bài toán
có vai trò cực kỳ quan trọng đến cả lý thuyết số lẫn toán học hiện đại

Các phương trình của Navier-Stokes
Chúng
mô tả hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí, chuyển động của khí quyển
và cả hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ
trụ. Chúng được Henri Navier và George Stokes đưa ra cách đây hơn 150
năm. Chúng chỉ là sự áp dụng các định luật về chuyển động của Newton vào
chất lỏng và chất khí. Tuy nhiên, những phương trình của Navier-Stokes
đến nay vẫn là một điều bí ẩn của toán học: người ta vẫn chưa thể giải
hay xác định chính xác số nghiệm của phương trình này. "Thậm chí người
ta không thể biết là phương trình này có nghiệm hay không" – nhà toán
học người Mỹ Charles Fefferman nhấn mạnh – "Điều đó cho thấy hiểu biết
của chúng ta về các phương trình này còn hết sức ít ỏi".
Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer
Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình x^2 + y^2 = z^2 ? có những nghiệm hiển nhiên, như 3^2 + 4^2 = 5^2.
Và cách đây hơn 2300 năm, Euclide đã chứng minh rằng phương trình này
có vô số nghiệm. Hiển nhiên vấn đề sẽ không đơn giản như thế nếu các hệ
số và số mũ của phương trình này phức tạp hơn… Người ta cũng biết từ 30
năm nay rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra số các
nghiệm nguyên của các phương trình dạng này. Tuy nhiên, đối với nhóm
phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong êlip loại 1,
các nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu
những năm 60 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ
thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa là nếu f(1)= 0), thì phương trình có vô số nghiệm. Nếu không, số nghiệm là hữu hạn.
PS: Giả thuyết Poincaré đã được chứng minh bởi Tiến sĩ Grigori Perelman