7 bài toán thiên niên kỷ (Millennium Problems)

[hanhtinhxanh_ngoisao_odon]

Một triệu đô la dành cho ai giải được bất kỳ bí ẩn nào trong số bảy bí ẩn toán học. Đó chính là phần thưởng do một tổ chức tư nhân nêu ra
nhằm đưa toán học trở lại vị trí xứng đáng của nó. Và dĩ nhiên, cũng để
trả lời những câu hỏi lớn vẫn làm đau đầu các nhà toán học bấy lâu nay.


7 bài toán ”
Clay ” đặt ra cho ” thiên kỉ ” cũng theo tinh thần Hilbert, nghĩa là
bao gồm toàn bộ các lãnh vực toán học. Người ta có thể thấy hơi ” kì ” :
người ” ra đề ” không phải là một cơ quan chính thức như Liên hiệp quốc
tế toán học hay Hội toán học Pháp, mà lại là một cơ sở tư nhân. Sự thật
là ngày nay không có, không thể có một nhà toán học ” phổ quát ” nữa _
toán học đã trở thành quá mênh mông. Không còn minh chủ được quần hùng
một lòng tôn vinh, thì lại càng nên tránh để nổ ra những cuộc xung đột
giữa các môn phái. Vả lại, kiếm đâu ra mấy triệu $, nếu không gõ cửa tư
nhân? Dù sao, Hội đồng khoa học của Viện Clay (tập hợp những chuyên gia
kiệt xuất trong tất cả các ngành toán học, và đầu tiên phải kể tên
Andrew Wiles, người đã chứng minh ” định lí cuối cùng của Fermat “) đã
đánh liều tiếp nối con đường của Hilbert để nêu ra 7 bài toán cho thế kỉ
21.


1. Giả thuyết Poincaré


Henri Poincare
(1854-1912), là nhà vật lý học và toán học người Pháp,một trong những
nhà toán học lớn nhất thế kỷ 19. Giả thuyết Poincaré do ông đưa ra năm
1904 là một trong những thách thức lớn nhất của toán học thế kỷ 20.

Lấy một quả
bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó một đường cong khép kín không
có điểm cắt nhau, sau đó cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn sẽ nhận
được hai mảnh bóng vỡ. Làm lại như vậy với một cái phao (hay một vật
hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ mà chỉ được có một.

Trong hình
học topo, người ta gọi quả bóng đối lập với cái phao, là một về mặt liên
thông đơn giản. Một điều rất dễ chứng minh là trong không gian 3 chiều,
mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt
của một vật hình cầu.

Vào năm
1904, nhà toán học Pháp Henri Poincaré đặt ra câu hỏi: Liệu tính chất
này của các vật hình cầu có còn đúng trong không gian bốn chiều. Điều kỳ
lạ là các nhà hình học topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong
những không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh
được tính chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều.

2. Vấn đề P chống lại NP

Với quyển
từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra nghĩa của từ “thằn lắn” dễ hơn, hay
tìm một từ phổ thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy ánh
kim, thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu như chắc chắn là tra
nghĩa thì dễ hơn tìm từ.

Những các nhà toán học lại không chắc chắn như thế. Nhà toán học Canada Stephen Cook
là người đầu tiên, vào năm 1971, đặt ra câu hỏi này một cách “toán
học”. Sử dụng ngôn ngữ lôgic của tin học, ông đã định nghĩa một cách
chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi
là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là
tập hợp NP). Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà lôgic
học khẳng định P # NP. Như mọi người, họ tin rằng có những vấn đề rất
khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả. Nó giống như việc
tìm ra số chia của 13717421 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra
rằng 3607 x 3808 = 13717421. Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại
mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra mã có đúng không. Tuy
nhiên, cũng lại chưa có ai chứng minh được điều đó.

“Nếu P=NP, mọi giả thuyết của chúng ta đến nay là sai” – Stephen Cook báo trước. “Một
mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng
trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ
các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet”. Mọi ngân hàng đều hoảng sợ trước vấn đề lôgic nhỏ bé và cơ bản này!

3. Các phương trình của Yang-Mills

Các nhà toán học luôn chậm chân hơn các nhà vật lý. Nếu như từ lâu, các nhà vật lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills
trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giới, thì các ông bạn toán học
của họ vẫn không thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình
này.

Được xác lập vào những năm 50 bởi các nhà vật lý Mỹ Chen Nin Yang và Robert Mills,
các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật lý về
hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi. Nó cũng cho thấy sự
thống nhất của hình học với phần trung tâm của thể giới lượng tử, gồm
tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ. Nhưng hiện nay, mới chỉ có
các nhà vật lý sử dụng chúng…

4. Giả thuyết Hodge

Euclide sẽ
không thể hiểu được gì về hình học hiện đại. Trong thế kỷ XX, các đường
thẳng và đường tròn đã bị thay thế bởi các khái niệm đại số, khái quát
và hiệu quả hơn. Khoa học của các hình khối và không gian đang dần dần
đi tới hình học của “tính đồng đẳng”. Chúng ta đã có những tiến bộ đáng
kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể toán học, nhưng việc mở rộng
các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất hình học dần dần biến mất
trong toán học. Vào năm 1950, nhà toán học người Anh William Hodge cho rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng…

5. Giả thuyết Riemann

2, 3, 5, 7,
…, 1999, …, những số nguyên tố, tức những số chỉ có thể chia hết cho 1
và chính nó, giữ vai trò trung tâm trong số học. Dù sự phân chia các số
này dường như không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặt chẽ với
một hàm số do thiên tài Thụy Sĩ Leonard Euler đưa ra vào thế kỷ XVIII. Đến năm 1850, Bernard Riemann đưa ra ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự.

Giả thuyết
của nhà toán học người Đức này chính là một trong 23 vấn đề mà Hilbert
đã đưa ra cách đây 100 năm. Giả thuyết trên đã được rất nhiều nhà toán
học lao vào giải quyết từ 150 năm nay. Họ đã kiểm tra tính đúng đắn của
nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiên, nhưng … vẫn không sao chứng
minh được. “Đối với nhiều nhà toán học, đây là vấn đề quan trọng nhất
của toán học cơ bản” – Enrico Bombieri, giáo sư trường Đại học
Princeton, cho biết. và theo David Hilbert, đây cũng là một vấn đề quan
trọng đặt ra cho nhân loại.

Bernhard
Riemann (1826-1866) là nhà toán học Đức. Giả thuyết Riemann do ông đưa
ra năm 1850 là một bài toán có vai trò cực kỳ quan trọng đến cả lý
thuyết số lẫn toán học hiện đại.

6. Các phương trình của Navier-Stokes

Chúng mô tả
hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí, chuyển động của khí quyển và cả
hình thái của các thiên hà trong thời điểm nguyên thủy của vũ trụ.
Chúng được Henri Navier và George Stokes đưa ra cách đây 150 năm. Chúng chỉ là sự áp dụng các định luật về chuyển động của Newton vào chất lỏng và chất khí.

Tuy nhiên,
những phương trình của Navier-Stokes đến nay vẫn là một điều bí ẩn của
toán học: người ta vẫn chưa thể giải hay xác định chính xác số nghiệm
của phương trình này. “Thậm chí người ta không thể biết là phương trình này có nghiệm hay không” – nhà toán học người Mỹ Charles Fefferman nhấn mạnh – “Điều đó cho thấy hiểu biết của chúng ta về các phương trình này còn hết sức ít ỏi”.

7. Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer:

Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình ? có những nghiệm hiển nhiên, như . Và cách đây hơn 2300 năm, Euclide
đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm. Hiển nhiên vấn đề
sẽ không đơn giản như thế nếu các hệ số và số mũ của phương trình này
phức tạp hơn…

Người ta
cũng biết từ 30 năm nay rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm
ra số các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này. Tuy nhiên, đối
với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong êlip
loại 1, các nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer
từ đầu những năm 60 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình
phụ thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1
(nghĩa là nếu f(1)= 0), phương trình có vô số nghiệm. nếu không, số
nghiệm là hữu hạn.

Giả thuyết nói như thế, các nhà toán học cũng nghĩ vậy, nhưng đến giờ chưa ai chứng minh được…

Người ta thấy vắng bóng ngành Giải tích hàm (Functional analysis)
vốn được coi là lãnh vực vương giả của nghiên cứu toán học. Lý do cũng
đơn giản : những bài toán quan trọng nhất của Giải tích hàm vừa mới được
giải quyết xong, và người ta đang đợi để tìm được những bài toán mới.

Một nhận
xét nữa : 7 bài toán đặt ra cho thế kỉ 21, mà không phải bài nào cũng
phát sinh từ thế kỉ 20. Bài toán P-NP (do Stephen Cook nêu ra năm 1971)
cố nhiên là bài toán mang dấu ấn thế kỉ 20 (lôgic và tin học), nhưng bài
toán số 4 là giả thuyết Riemann đã đưa ra từ thế kỉ 19. Và là một trong
3 bài toán Hilbert chưa được giải đáp !
<blockquote>

Một giai
thoại vui: Vài ngày trước khi 7 bài toán 1 triệu đôla được công bố, nhà
toán học Nhật Bản Matsumoto (sống và làm việc ở Paris) tuyên bố mình đã
chứng minh được giả thuyết Riemann. Khổ một nỗi, đây là lần thứ 3 ông
tuyên bố như vậy. Và cho đến hôm nay, vẫn chưa biết Matsumoto có phải là
nhà toán học triệu phú đầu tiên của thế kỉ 21 hay chăng…
</blockquote>

Trong số 7 bài toán trên có 1 bài đã được chứng minh. Đó là giả thuyết Poincaré. Cuối năm 2002, nhà toán học Nga Grigori Perelman tại Viện toán học Steklov (St. Petersburg, Nga) công
bố chứng minh Giả thuyết Poincaré. Và mới đây, vào tháng 6 năm 2004,
tin tức về việc chứng minh giả thuyết Riemann của nhà toán học Louis De Branges
ở Đại học Purdue cũng được công bố và hiện vẫn đang trong giai đoạn
kiểm tra. Cũng xin lưu ý là trong số 7 bí ẩn toán học này, thì hai bài
toàn này thuộc loại “xương” hơn cả (dĩ nhiên cái này cũng tương đối) thế
nhưng nó lại (có thể) được chứng minh trước. Tuy nhiên có thể dễ dàng
lý giải điều này, vì đây là hai bài toán có vai trò rất quan trọng trong
cả lĩnh vực của nó lẫn trong toán học hiện đại nói chung (nhất là giả
thuyết Riemann). Chúng ta cùng chờ xem sự thẩm định của các nhà toán
học.